Ο Γιόζεφ Βάντζικ ξεκίνησε τη σταδιοδρομία του στη Rodlo Gorniki, πριν μετακομίσει στη Ρουχ Χόρζουφ. Μετά από δύο χρόνια στο σύλλογο, πήρε μεταγραφή στον αντίπαλο σύλλογο Γκούρνικ Ζάμπζε. Με τη Γκούρνικ κέρδισε το 4 πρωταθλήματα Πολωνίας (1986-1989).

Η αξιοπιστία του, του χάρισε τη μεταγραφή του στον Παναθηναϊκό το καλοκαίρι του 1990. Με τον Παναθηναϊκό γνώρισε μεγάλες επιτυχίες, φτάνοντας ως τον ημιτελικό του ΟΥΕΦΑ Τσάμπιονς Λιγκ της σεζόν 1995-96. Κέρδισε το Πρωτάθλημα Ελλάδας το 1991, το 1995 και το 1996, το Κύπελλο Ελλάδας το 1991, το 1993, το 1994 και το 1995 και το Σούπερ Καπ το 1993 και το 1994. Στο πρωτάθλημα παρέμεινε ανίκητος για 988 καθώς και για 906 λεπτά, θέτοντας αντίστοιχα το τρίτο και το τέταρτο ρεκόρ στην Ελλάδα. Οι εμφανίσεις του και η σταθερότατη παρουσία του στο τέρμα του είχαν χαρίσει το προσωνύμιο «Βουνό».

Η Ελληνική Ποδοσφαιρική Ομοσπονδία του απένειμε το Βραβείο Επιτυχημένης Ζωής, για την αφοσίωσή του και την υπηρεσία του στο ελληνικό ποδόσφαιρο. Έχει θεωρηθεί από πολλούς ως ο σπουδαιότερος ξένος τερματοφύλακας όλων των εποχών στην Ελλάδα.

Ξεκίνησε τη διεθνή του σταδιοδρομία από την Εθνική Πολωνίας U18, με την οποία έφτασε στους τελικούς του Παγκοσμίου Κυπέλλου U18 του 1981. Στη συνέχεια, κατέκτησε την 3η θέση στο Παγκόσμιο Κύπελλο U20 με την Εθνική Πολωνίας U20.

Αγωνίστηκε για την Εθνική Πολωνίας από το Δεκέμβριο του 1985 και για μια δεκαετία, όντας η πρώτη επιλογή στη θέση του τερματοφύλακα. Πραγματοποίησε 52 συμμετοχές στην Εθνική ομάδα, κάνοντας ντεμπούτο στις 9 Δεκεμβρίου 1985 εναντίον της Τυνησίας, ενώ η τελευταία του συμμετοχή σημειώθηκε στις 25 Απριλίου 1995 εναντίον του Ισραήλ.Έχει το ρεκόρ των περισσότερων αγώνων χωρίς να δεχτεί γκολ (23 αγώνες), σπάζοντας το προηγούμενο ρεκόρ που κατείχε ο θρυλικός Γιαν Τομασέφσκι (Jan Tomaszewski). Αντιπροσώπευσε την Πολωνία μόνο σε μία μεγάλη διοργάνωση, το Παγκόσμιο Κύπελλο του 1986.

Μετά την αποχώρησή του το 2001, εργάστηκε ως προπονητής τερματοφυλάκων για την Καλλιθέα, αλλά ακολούθως ασχολήθηκε ως προπονητής σε διάφορες ακαδημίες νέων.

Είναι κάτοχος διπλώματος UEFA A